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2019-2020年高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)教学案新人教B版选修1-1

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2019-2020 年高中数学第二单元圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质 (一)教学案新人教 B 版选修 1-1
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件 求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形.
知识点一 椭圆的简单几何性质 已知两椭圆 C1、C2 的标准方程:C1:2x52 +1y62 =1,C2:2y52 +1x62 =1. 思考 1 怎样求 C1、C2 与两坐标轴的交点?交点坐标是什么?

思考 2 椭圆具有对称性吗?

思考 3 椭圆方程中 x,y 的取值范围分别是什么?

梳理 标准方程 图形

xa22+yb22=1(a>b>0)

ya22+xb22=1(a>b>0)

焦点

焦距

|F1F2|=2c (c= a2-b2)

|F1F2|=2c (c= a2-b2)

性质 范围

对称性

关于________________对称

顶点



长轴长________,短轴长________

知识点二 椭圆的离心率

思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样,哪些量影响其扁平程度?怎样刻画?

梳理 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比 e=ca,叫做椭圆的____________. (2)性质:离心率 e 的取值范围是________,当 e 越接近于 1,椭圆越________,当 e 越接近 于________,椭圆就越接近于圆.
类型一 椭圆的几何性质 例 1 求椭圆 9x2+16y2=144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 引申探究 已知椭圆方程为 4x2+9y2=36,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆 的焦点在哪个坐标轴上,再利用 a,b,c 之间的关系和定义,求椭圆的基本量. 跟踪训练 1 设椭圆方程 mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为12,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦 点坐标及顶点坐标.

类型二 求椭圆的离心率

命题角度 1 焦点三角形的性质

例 2 椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正

三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.

反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到 a 与 c 的关系或利用 e=

b2 1-a2

求解.

跟踪训练 2 已知 F1,F2 是椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线与椭圆相交于 A,

B 两点,若∠BAF2=60°,|AB|=|AF2|,则椭圆的离心率为________.

命题角度 2 利用 a,c 的齐次式,求椭圆的离心率(或其取值范围) 例 3 (1)设椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于________. (2)若椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)上存在一点 M,使得∠F1MF2=90°(F1,F2 为椭圆的两个焦点),则 椭圆的离心率 e 的取值范围是________.

反思与感悟 若 a,c 的值不可求,则可根据条件建立 a,b,c 的关系式,借助于 a2=b2+c2, 转化为关于 a,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂,得到关 于 e 的方程或不等式,即可求得 e 的值或取值范围. 跟踪训练 3 已知椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为 F,上顶点为 B,且∠BAO+ ∠BFO=90°(O 为坐标原点),则椭圆的离心率 e=________.

类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程 例 4 (1)椭圆过点(3,0),离心率 e= 36,求椭圆的标准方程. (2)已知椭圆的中心在原点,它在 x 轴上的一个焦点 F 与短轴两个端点 B1,B2 的连线互相垂直, 且这个焦点与较近的长轴的端点 A 的距离为 10- 5,求这个椭圆的方程.
反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出 a,b,c 所应满足的关系式,进而求出 a,b.在求解时,需注意当焦点所在位置不确定时,应分类讨论. 跟踪训练 4 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程: (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-6); (2)焦点在 x 轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为 6.

1.已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( )

A.13

B.

3 3

C.

2 2

D.12

2.椭圆 6x2+y2=6 的长轴端点坐标为( )

A.(-1,0),(1,0)

B.(-6,0),(6,0)

C.(- 6,0),( 6,0)

D.(0,- 6),(0, 6)

3.设 P(m,n)是椭圆2x52 +y92=1 上任意一点,则 m 的取值范围是________.

4.若椭圆的对称轴为坐标轴,且长轴长为 10,有一个焦点坐标是(3,0),则此椭圆的标准方 程为____________. 5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐 标为________.
1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式,应先化成标准形式. 2.根据椭圆的几何性质,可以求椭圆的标准方程,其基本思路是“先定型,再定量”,常用 的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中,能确定类型的量有焦点、顶点,而不能确定类型 的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距. 3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.

答案精析

问题导学

知识点一

思考 1 对于方程 C1:令 x=0,得 y=±4,即椭圆与 y 轴的交点为(0,4)与(0,-4);令 y =0,得 x=±5,即椭圆与 x 轴的交点为(5,0)与(-5,0).同理得 C2 与 y 轴的交点为(0,5) 与(0,-5),与 x 轴的交点为(4,0)与(-4,0).

思考 2 有.问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形,也是以 x 轴、y 轴为对称

轴的轴对称图形.

思考 3 C1:-5≤x≤5,-4≤y≤4; C2:-4≤x≤4,-5≤y≤5. 梳理 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a x 轴、y 轴和原点 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0) 2a 2b

知识点二

c

c

思考 如图所示,在 Rt△BOF2 中,cos∠BF2O=a,记 e=a,则 0<e<1,e 越大,∠BF2O 越小,

椭圆越扁;e 越小,∠BF2O 越大,椭圆越圆.

梳理 (1)离心率 (2)(0,1) 扁 0 题型探究
x2 y2 例 1 解 已知方程化成标准方程为16+ 9 =1, 于是 a=4,b=3,c= 16-9= 7, ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a=8 和 2b=6, 离心率 e=ca= 47.又知焦点在 x 轴上, ∴两个焦点坐标分别是 F1(- 7,0)和 F2( 7,0), 四个顶点坐标分别是 A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3)和 B2(0,3). 引申探究
x2 y2 解 把椭圆的方程化为标准方程 9 + 4 =1,

可知此椭圆的焦点在 x 轴上,且长半轴长 a=3, 短半轴长 b=2. 又得半焦距 c= a2-b2= 9-4= 5.

所以椭圆的长轴长 2a=6,短轴长 2b=4;两个焦点的坐标分别是(- 5,0),( 5,0).四

个顶点的坐标分别是(-3,0),(3,0),(0,-2),(0,2).离心率 e=ca= 35.

跟踪训练 1



x2 y2 椭圆方程化为标准形式为 4 + m =1,且

e=12.

(1)当 0<m<4 时,长轴长和短轴长分别是 4,2 3, 焦点坐标为 F1(-1,0),F2(1,0), 顶点坐标为 A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,- 3),B2(0, 3). (2)当 m>4 时,长轴长和短轴长分别为8 3 3,4,

焦点坐标为 F1(0,-2 3 3),F2(0,2 3 3),

顶点坐标为 A1(0,-4 3 3),A2(0,4 3 3),B1(-2,0),B2(2,0).

例 2 3-1

解析 方法一 如图,

∵△DF1F2 为正三角形,

N 为 DF2 的中点,

∴F1N⊥F2N,

∵|NF2|=c,

∴|NF1|=

|F1F2|2-|NF2|2

= 4c2-c2= 3c,

则由椭圆的定义可知|NF1|+|NF2|=2a,

∴ 3c+c=2a,

∴e=ca=

2= 3+1

3-1.

方法二 注意到焦点三角形 NF1F2 中 ,∠NF1F2=30°, ∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°,

则由离心率的三角形式,可得

e=22ac=|NF|1|F+1F2||NF2|

=sin

sin ∠F1NF2 ∠NF1F2+sin ∠NF2F1

=sin

sin 90° 30°+sin

60°

1



= 3-1.

13

2+ 2

跟踪训练 2

3 3

解析 如图所示,∵∠BAF2=60°, |AB|=|AF2|, ∴△ABF2 是等边三角形, ∴△ABF2 的周长=3|AF2| =4a,

∴|AF2|=43a,∴|AF1|=23a.

在△AF1F2 中,由余弦定理得(2c)2=(23a)2+(43a)2-2×23a×43a×cos 60°,

化为 a2=3c2,解得 e=ca= 33.

例3

(1)

3 3

解析 直线 AB:x=c,代入xa22+yb22=1,

得 y=±ba2,

∴A(c,ba2),B(c,-ba2).

b2

b2

- a -0 ∴kBF1=c- -c

-a

b2

= 2c =-2ac,

∴直线 BF1:y-0=-2ba2c(x+c),

令 x=0,则 y=-2ba2 ,

b2 b2

∴D(0,-2ba2 ),∴kAD=

a

+2a 3b2 c =2ac.

由于 AD⊥BF1,∴-2ba2c·23abc2 =-1,

∴3b4=4a2c2,

∴ 3b2=2ac,即 3(a2-c2)=2ac,

∴ 3e2+2e- 3=0,

∴e=-2± 4-4× 3 23
=-2±4, 23

-3

∵e>0,∴e=-2+4= 23 2

2 =
3

3 3.

2 (2)[ 2 ,1) 解析 椭圆xa22+yb22=1(a>b>0),-b≤y≤b. 由题意知,以 F1F2 为直径的圆至少与椭圆有一个公共点, 则 c≥b,即 c2≥b2,所以 c2≥a2-c2, 所以 e2≥1-e2,即 e2≥12. 又 0<e<1,

所以 e 的取值范围是[ 22,1).

跟踪训练 3

5-1 2

例 4 解 (1)∵所求椭圆的方程为标准方程,

又椭圆过点(3,0),∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.

①当椭圆的焦点在 x 轴上时,(3,0)为右顶点,则 a=3.

∵e=ca= 36,∴c= 36a= 36×3= 6,

∴b2=a2-c2=32-( 6)2=9-6=3, x2 y2
∴椭圆的标准方程为 9 + 3 =1. ②当椭圆的焦点在 y 轴上时,(3,0)为右顶点,则 b=3,

∵e=ca= 36,∴c= 36a,

∴b2=a2-c2=a2-23a2=13a2,

∴a2=3b2=27,

y2 x2 ∴椭圆的标准方程为27+ 9 =1.

x2 y2

y2 x2

综上可知,椭圆的标准方程是 9 + 3 =1 或27+ 9 =1.

(2)依题意,设椭圆的方程为xa22+yb22=1(a>b>0),

由椭圆的对称性,知|B1F|=|B2F|, 又 B1F⊥B2F, ∴△B1FB2 为等腰直角三角形, ∴|OB2|=|OF|,即 b=c.

|FA|= 10- 5,

即 a-c= 10- 5,且 a2=b2+c2,

? b=c, ? 将上面三式联立,得 a-c= 10- 5,
?a2=b2+c2,

?a= 10, 解得?
?b= 5. x2 y2
∴所求椭圆方程为10+ 5 =1. x2 y2
跟踪训练 4 解 (1)当焦点在 x 轴上时,设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0). ??2b=a,
依题意有???a42+3b62 =1,

?a=2 37, 解得?
?b= 37,

x2 y2 ∴椭圆方程为148+37=1.

同理可求出当焦点在 y 轴上时,

x2 y2 椭圆方程为13+52=1.

x2 y2

x2 y2

故所求的椭圆方程为148+37=1 或13+52=1.

(2)依题意有?????bc= =c6, , ∴b=c=6, ∴a2=b2+c2=72,
x2 y2 ∴所求的椭圆方程为72+36=1.

当堂训练 x2 y2
1.B 2.D 3.[-5,5] 4.25+16=1 5.(0,± 69)

2019-2020 年高中数学第二单元圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质 (二)教学案新人教 B 版选修 1-1
学习目标 1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.
知识点一 点与椭圆的位置关系 思考 1 判断点 P(1,2)与椭圆x42+y2=1 的位置关系.

思考 2 类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点 P(x0,y0)与椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的位 置关系的判定吗?

梳理 设 P(x0,y0),椭圆xa22+yb22=1(a>b>0),则点 P 与椭圆的位置关系如下表所示:

位置关系 P 在椭圆外 P 在椭圆上 P 在椭圆内

满足条件 xa202+yb202>1 xa202+yb202=1 xa202+yb202<1

知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考 1 直线与椭圆有几种位置关系?

思考 2 如何判断直线 y=2x+1 与椭圆 4x2+y2=4 的位置关系?

梳理

直线

y=kx+m

x2 y2 与椭圆a2+b2=1

的位置关系的判定

??y=kx+m, 联立???ax22+yb22=1,

消去 y 得关于 x 的一元二次方程.

位置关系 相交

解的个数 两解

Δ 的取值 Δ ________0

相切 相离

一解 无解

Δ ________0 Δ ________0

知识点三 直线与椭圆的相交弦 思考 若直线与椭圆相交,如何求相交弦弦长?

梳 理 弦 长 公 式 : (1)|AB| =

+k2

x1+x2 2-4x1x2];

(2)|AB|=

1+k12|y1-y2|

x1-x2 2+ y1-y2 2 = 1+k2 |x1 - x2| =



1 +k2

y1+y2 2-4y1y2]

(直线与椭圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),k 为直线的斜率). 其中,x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2 的值,可通过由直线方程与椭圆方程联立,消去 y 或 x 后 得到关于 x 或 y 的一元二次方程得到.

类型一 直线与椭圆的位置关系

命题角度 1 直线与椭圆位置关系判断

例1

直线

y=kx-k+1

x2 y2 与椭圆 2 + 3 =1

的位置关系是(

)

A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定

反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)

联立直线与椭圆的方程,消元得到一元二次方程:

(1)Δ >0?直线与椭圆相交?有两个公共点.

(2)Δ =0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点.

(3)Δ <0?直线与椭圆相离?无公共点. 跟踪训练 1 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22+y2=

1 有两个不同的交点 P 和 Q.求 k 的取值范围.

命题角度 2 距离的最值问题 x2 y2
例 2 在椭圆 4 + 7 =1 上求一点 P,使它到直线 l:3x-2y-16=0 的距离最短,并求出最短 距离.

反思与感悟 本题通过对图形的观察分析,将求最短距离问题转化为直线与椭圆的位置关系

问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立,消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一

元二次方程,则(1)直线与椭圆相交?Δ >0;(2)直线与椭圆相切?Δ =0;(3)直线与椭圆相

离?Δ <0,所以判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是最基本的工具.

跟踪训练 2

x2 y2 已知椭圆25+ 9 =1,直线

l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线

l 的距离最小?最小距离是多少?

类型二 弦长与中点弦问题 x2 y2
例 3 已知椭圆36+ 9 =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两点. (1)当直线 l 的斜率为12时,求线段 AB 的长度; (2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程.
反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用 根与系数的关系或中点坐标公式解决,涉及弦的中点,还可使用点差法:设出弦的两端点坐 标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系. 跟踪训练 3 已知椭圆 ax2+by2=1(a>0,b>0 且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点,

C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 22,求椭圆的方程.

类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例 4 已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 引申探究 在例 4 中,设直线与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.

反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多,而且可与很多知识联系在一起出题,例如不等 式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、 函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或 函数关系式,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.
x2 y2 跟踪训练 4 若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 + 3 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点, 则O→P·F→P的最大值为________.

x2 y2 1.点 A(a,1)在椭圆 4 + 2 =1 的内部,则 a 的取值范围是( )

A.- 2<a< 2

B.a<- 2或 a> 2

C.-2<a<2

D.-1<a<1

2.若直线 y=x+ 6与椭圆 x2+ym22=1(m>0 且 m≠1)只有一个公共点,则该椭圆的长轴长为

()

A.1

B. 5

C.2

D.2 5

3.设 F1、F2 为椭圆x42+y2=1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P、Q 两点,

当四边形 PF1QF2 面积最大时,P→F1·P→F2的值等于( ) A.0 B.2 C.4 D.-2 4.过点 P(-1,1)的直线交椭圆x42+y22=1 于 A,B 两点,若线段 AB 的中点恰为点 P,则 AB 所

在的直线方程为________________. 5.直线 l:y=kx+1 与椭圆x22+y2=1 交于 M,N 两点,

且|MN|=4 3 2,求直线 l 的方程.

1.直线与椭圆相交弦长的有关问题

(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.

(2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)

两点,则有|AB|= x1-x2 2+ y1-y2 2=

+k2

x1-x2 2

= 1+k2· x1+x2 2-4x1x2



1 +k2

y1-y2 2



1 1+k2·

y1+y2 2-4y1y2(k 为直线斜率).

(3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况. 2.解决椭圆中点弦问题的二种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二 次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差, 构造出中点坐标和斜率的关系. 特别提醒:利用公式计算弦长时,要注意这两个公式的区别,切勿记错.

答案精析
问题导学 知识点一 思考 1 当 x=1 时,得 y2=34,故 y=± 23,而 2> 23,故点在椭圆外. 思考 2 当 P 在椭圆外时,xa202+yb202>1; 当 P 在椭圆上时,xa202+yb202=1; 当 P 在椭圆内时,xa202+yb202<1. 知识点二 思考 1 有三种位置关系,分别是相交、相切、相离. 思考 2 联立?????y4= x2+2xy+2=1,4, 得 8x2+4x-3=0, Δ =42-4×8×(-3)>0, 所以直线 y=2x+1 与椭圆 4x2+y2=4 相交. 梳理 > = < 知识点三 思考 有两种方法:一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标,利用两点间距离公 式可求得,另一种方法是利用弦长公式可求得. 题型探究 例 1 A [直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必与椭圆 相交.] 跟踪训练 1 解 由已知条件知直线 l 的方程为 y=kx+ 2,代入椭圆方程得x22+(kx+ 2)2
=1.整理得???12+k2???x2+2 2kx+1=0.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 Δ =8k2 -4???12+k2???=4k2-2>0, 解得 k<- 22或 k> 22. 即 k 的取值范围为

???-∞,- 22???∪??? 22,+∞???. 例 2 解 设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y=32x+m,
x2 y2 代入 4 + 7 =1, 并整理得 4x2+3mx+m2-7=0, Δ =9m2-16(m2-7)=0 ? m2=16? m=±4, 故两切线方程为 y=32x+4 和 y=32x-4,

由图可知 y=32x-4 距 l 最近,故最短距离 d=

|-16+8| 32+ -


2

8 =8 13

1313,

P 点为切点,即 P???32,-74???.

跟踪训练 2 解 如图,由直线 l 的方程与椭圆的方程可知,直线 l 与椭圆不相交.设直线 m

平行于直线 l,则直线 m 的方程可以写成 4x-5y+k=0.



??4x-5y+k=0, 由方程组???2x52 +y92=1,

消去 y,得 25x2+8kx+k2-225=0.



令方程②的根的判别式 Δ =0,

得 64k2-4×25×(k2-225)=0.



解方程③得 k1=25 或 k2=-25.

由图可知,当 k=25 时,直线 m 与椭圆的交点到直线 l 的距离最近,此时直线 m 的方程为 4x

-5y+25=0.

直线 m 与直线 l 间的距离 d=

|40-25| 42+ -

15 2=41

41.

所以,最小距离是4115 41.

例 3 解 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y-2=12(x-4),

????? 即 y=12x.由

y=12x, x2 y2 36+ 9 =1,

消去 y 可得 x2-18=0,若设 A(x1,y1),B(x2,y2).则 x1+

x2=0,x1x2=-18.

于是|AB|= x1-x2 2+ y1-y2 2



x1-x2 2+14 x1-x2 2



5 2

x1+x2 2-4x1x2

= 25×6 2=3 10.所以线段 AB 的长度为 3 10. (2)方法一 当直线 l 的斜率不存在时,不合题意. 所以直线 l 的斜率存在. 设 l 的斜率为 k, 则其方程为 y-2=k(x-4).

??y-2=k x- , 联立???3x62 +y92=1, 消去 y 得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0. 若设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=321k+2-41k26k, 由于 AB 的中点恰好为 P(4,2), 所以x1+2 x2=116+k2-4k82k=4, 解得 k=-12,且满足 Δ >0.

这时直线的方程为 y-2=-12(x-4), 即 x+2y-8=0.

方法二

??3x621 +y912=1, ??? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 3x622 +y922=1,

两式相减得x22- 36x21+y22-9 y21=0,

整理得 kAB=yx22- -yx11=-

x2+x1 y2+y1



由于 P(4,2)是 AB 的中点,

∴x1+x2=8,y1+y2=4, 于是 kAB=-396××84=-12,

于是直线 AB 的方程为

y-2=-12(x-4),

即 x+2y-8=0.

跟踪训练 3 解 方法一 设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程并作差,

得 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)·(y1-y2)=0.



∵A,B 为直线 x+y-1=0 上的点,

∴yx11--yx22=-1.

由已知得yx11+ +yx22=kOC=

2 2 ,代入①式可得

b=

2a.

∵直线 x+y-1=0 的斜率 k=-1.

又|AB|= 1+k2|x2-x1|

= 2|x2-x1|=2 2, ∴|x2-x1|=2. 联立 ax2+by2=1 与 x+y-1=0,可得(a+b)x2-2bx+b-1=0.

且由已知得 x1,x2 是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0 的两根, ∴x1+x2=a2+bb,x1x2=ba- +1b,

∴4=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2

=???a2+bb???2-4·ba- +1b.



将 b= 2a 代入②式,解得 a=13,

∴b=

2 3.

x2 2y2 ∴所求椭圆的方程是 3 + 3 =1.

方法二 由???ax2+by2=1, ??x+y-1=0,
得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=a2+bb,x1x2=ba- +1b, 且直线 AB 的斜率 k=-1,

∴|AB|= k2+

x1-x2 2

= k2+

x1+x2 2-4x1x2]

4b2- a+b b-

= 2·

a+b

.

∵|AB|=2 2,

2· 4b2- a+b



a+b

b- =2 2,

∴ a+a+b-b ab=1.① 设 C(x,y),则 x=x1+2 x2=a+b b, y=1-x=a+a b.

∵OC

的斜率为

2 2,

ya 2 ∴x=b= 2 ,将其代入①式得,

a=13,b=

2 3.

x2 2y2 ∴所求椭圆的方程为 3 + 3 =1.

例 4 解 (1)由???4x2+y2=1, ??y=x+m,

得 5x2+2mx+m2-1=0, 因为直线与椭圆有公共点, 所以 Δ =4m2-20(m2-1)≥0,

解得-

25≤m≤

5 2.

(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由(1)知 5x2+2mx+m2-1=0,

所以 x1+x2=-25m,x1x2=15(m2-1),

所以|AB|= x1-x2 2+ y1-y2 2



x1-x2 2



x1+x2 2-4x1x2]



2???42m52-45 m2- ???

=25 10-8m2.

所以当 m=0 时,|AB|最大,此时直线方程为 y=x.

引申探究

解 可求得 O 到 AB 的距离 d=|m|, 2

又|AB|=25 10-8m2,

∴S△AOB=12|AB|·d

=12·25

10-8m2·|m| 2

2 =5

54-m2 m2

2

45-m2 +m2 1

≤5·

2

=4,

当且仅当54-m2=m2 时,上式取“=”,

此时 m=± 410∈[- 25, 25].

∴所求直线方程为 x-y± 410=0.

跟踪训练 4 6 当堂训练 1.A 2.D 3.D 4.x-2y+3=0 5.解 设直线 l 与椭圆的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2),

??y=kx+1, 由???x22+y2=1,

消去 y 并化简,

得(1+2k2)x2+4kx=0, 所以 x1+x2=-1+4k2k2,x1x2=0.

由|MN|=4 3 2,

得(x1-x2)2+(y1-y2)2=392,

所以(1+k2)(x1-x2)2=392,

所以(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=392, 即(1+k2)(-1+4k2k2)2=392, 化简得 k4+k2-2=0,所以 k2=1, 所以 k=±1. 所以所求直线 l 的方程是 y=x+1 或 y=-x+1.



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